关系代数是以关系为运算对象的一组高级运算集合。
关系代数中的操作可分为两类
（1）传统的集合操作：并、差、交、笛卡儿积。
（2）扩充的关系操作：投影、选择、连接、除法等。

关系代数的五个基本操作
1,并（Union）
设关系R和S具有相同的关系模式，R和S的并是由属于R或属于S的元组构成的集合，记为R∪S。形式定义如下：
R∪S≡{t | t∈R ∨ t∈S}，t是元组变量，R和S的元数相

2,差（Difference）
设关系R和S具有相同的关系模式，R和S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合，记为R－S。形式定义如下：
R－S≡{ t | t∈R ∧ t∈S}，R和S的元数相同。

3,笛卡儿积（Cartesian Product）
设关系R和S的元数分别为r和s，定义R和S的笛卡儿积是一个（r+s）元的元组集合，每个元组的前r个分量（属性值）来自R的一个元组，后s个分量来自S的一个元组，记为R×S。

4,投影（Projection）
这个操作是对一个关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序。
设关系R是k元关系，R在其分量Ai1，…，Aim（m≤k，i1，…，im为1到k间的整数）上的投影用πi1，…，im（R）表示，它是一个m元元组集合，形式定义如下：
πi1，…，im（R）≡{ t | t＝〈ti1，…，tim〉∧〈t1，…，tk〉∈R }

例如，π3，1（R）表示关系R中取第1、3列，组成新的关系，新关系中第1列为R的第3列，新关系的第2列为R的第1列。如果R的每列标上属性名，那么操作符π的下标处也可以用属性名表示。例如，关系R（A，B，C），那么πC，A（R）与π3，1（R）是等价的。

5,选择（Selection）
选择操作是根据某些条件对关系做水平分割，即选取符合条件的元组。条件可用命题公式（即计算机语言中的条件表达式）F表示。F中有两种成分：
运算对象：常数（用引号括起来），元组分量（属性名或列的序号）。
运算符：算术比较运算符（<，≤， >，≥，=，≠统称为θ符），运算运算符（∧，∨，?）。
关系R关于公式F的选择操作用σF（R）表示，形式定义如下：
σF（R）＝{ t | t∈R ∧ F（t）= true }
σ为选择运算符，σF（R）表示从R中挑选满足公式F为真的元组所构成的关系。
例如，σ2＞ˊ3ˊ（R）表示从R中挑选第2个分量值大于3的元组所构成的关系。书写时，为了与属性序号区别起见，常量用引号括起来，而属性序号或属性名不要用引号括起来。

关系代数的四个组合操作
1,交（intersection）
关系R和S的交是由属于R又属于S的元组构成的集合，记为R∩S，这里要求R和S定义在相同的关系模式上。形式定义如下：
R∩S≡{t︱t∈R ∧ t∈S}，R和S的元数相同。

由于R∩S = R-（R-S），或R∩S = S-（S-R），因此交操作不是一个独立的操作，它是由差操作组合而成的。
在图2.12中，R∩S的结果是只有一个元组（d，a，f）。 

2联接（join）
联接有两种：θ联接和F联接（这里θ是算术比较符，F是公式）。
① θ联接 
R ? S≡{t︱ t=<tr，ts > ∧ tr∈R ∧ ts∈S ∧triθtsj } 
θ连接是由笛卡儿积和选择操作组合而成。

② F联接 
F联接是从关系R和S的笛卡尔积中选取属性间满足某一公式F的元组, 这里F是形为F1∧F2∧…∧Fn的公式，每个FP是形为iθj的式子，而i和j分别为关系R和S的第i、第j个分量的序号。

3,自然联接（natural join）
两个关系R和S的自然联接操作具体计算过程如下：
① 计算R×S ；
② 设R和S的公共属性是A1,…,AK，挑选R×S中满足R.A1=S.A1，…，R.AK=S.AK  的那些元组；
③去掉S.A1，…，S.AK这些列。
定义：
  πi1,…,im (σR.A1=S.A1∧... ∧R.AK=S.AK(R×S)),其中i1,…,im为R和S的全部属性，但公共属性只出现一次。

4,除法（division）
设关系R和S的元数分别为r和s（设r >s >0），那么R÷S是一个（r-s）元的元组的集合。（R÷S）是满足下列条件的最大关系：其中每个元组t与S中每个元组u组成的新元组<t，u >必在关系R中。 
R÷S≡π1，2，…，r-s（R）-π1，2，…，r-s（（π1，2，…，r-s（R）×S）-R）

关系代数运算的应用实例
在关系代数运算中，把由五个基本操作经过有限次复合的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍是一个关系。我们可以用关系代数表达式表示各种数据查询操作。

例2.7 数据库中有三个关系：
学生关系　S（S＃，SNAME，AGE，SEX）
选课关系　SC（S＃，C＃，GRADE）
课程关系　C（C＃，CNAME，TEACHER）
下面用关系代数表达式表达每个查询语句。
（1）检索学习课程号为C2的学生学号与成绩   ΠS#,GRADE(σ C#=‘C2’(SC))
（2）检索学习课程号为C2的学生学号与姓名。 ΠS#,SNAME(σ C#=‘C2’(S? SC))
（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。 ΠS#,SNAME(σ CNAME=‘MATHS’(S? SC ? C))
（4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。    ΠS#(σ C#=‘C2’ ∨C#=‘C4’ (SC))
（5）检索至少选修课程号为C2和C4的学生学号。 Π1(σ 1=4 ∧ 2=‘C2’ ∧5=‘C4’ (SC ×SC))
（6）检索不学C2课的学生姓名与年龄 ΠSNAME,AGE(S)-ΠSNAME,AGE(σ C#=‘C2’(S? SC))
（7）检索学习全部课程的学生姓名。 ΠSNAME (  S ? ΠS#,C#(SC) ÷ ΠC#(C) )
（8）检索所学课程包含学生S3所学课程的学生学号。 ΠS#,C#(SC) ÷ ΠC#(σ S#=‘S3’(SC))

关系代数的七个扩充操作
1,改名 
2,广义投影 
3,赋值 
4,外联接（outer join） 
5,外部并（outer union） 
6,半联接（semijoin） 
7,聚集操作 （max,min,avg,sum,count）

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数据库学习教程(二)-关系模型和关系运算理论