BCNF的概念

定义4.19  如果关系模式R是1NF，且每个属性都不传递依赖于R的候选键，那么称R是BCNF的模式。如果数据库模式中每个关系模式都是BCNF，则称为BCNF的数据库模式。

例4.16　设关系模式R（B＃，BNAME，AUTHOR）的属性分别表示书号、书名和作者名。如果规定，每个书号只有一个书名，但不同书号可以有相同的书名；每本书可以有多个作者合写，但每个作者参与编著的书名应该互不相同。这样的规定可以用下列两个FD表示：B＃→BNAME　和（AUTHOR，BNMAE）→B＃
R的关键码为（BNAME，AUTHOR）或（B＃，AUTHOR），因而模式

R的属性都是主属性，R是3NF。但从上述两个FD可知，属性BNAME传递依赖于关键码（AUTHOR，BNAME），因此R不是BCNF。例如一本书由多个作者编写，其书名与书号间的联系在关系中将多次出现，会导致数据冗余和操作异常。
如果把R分解成R1（B＃，BNAME）和R2（B＃，AUTHOR），能解决上述问题，且R1和R2都是BCNF。但有可能引起新的问题，例如这个分解把（AUTHOR，BNAME）→B＃丢失了，数据语义将会引起新的矛盾。

从定义4.18和定义4.19（3NF和BCNF的定义）可以知道，如果R是BCNF模式，那么R也是3NF模式。即有下面的定理。

定理4.11 （相对于定理4.9）如果R是BCNF模式，那么R也是3NF模式。
证明：设R是BCNF，但不是3NF，那么R上必存在传递依赖X　Y，Y　A，这里X是R的键，A　Y，Y　X。显然Y不包含R的键；否则，Y　X也成立。因此Y　A违反了BCNF的定义，与假设R是BCNF矛盾。从而定理得以证明。

定义4.19’(相对于定义4.18’)  设F是关系模式R的FD集，如果对F中每个非平凡的FD X→Y，都有X是R的超键，那么称R是BCNF的模式。
这个定义表明，如果非平凡的FD  X　Y中X不包含超键，那么Y必须传递依赖于候选键，因此R不是BCNF模式。

分解成BCNF模式集的算法

算法4.6  无损分解成BCNF模式集
对于关系模式R的分解ρ（初始时ρ={R}），如果ρ中有一个关系模式Ri相对于
πRi（F）不是BCNF。据定义4.19’可知，Ri中存在一个非平凡FD X→Y，有X不包含超键。此时把Ri分解成XY和Ri－Y两个模式。重复上述过程，一直到ρ中每一个模式都是BCNF。

算法4.7  无损分解且保持依赖地分解成3NF模式集
对于关系模式R和R上成立的FD集F，先求出F的最小依赖集，然后再把最小依赖集中那些左部相同的FD用合并性合并起来。
对最小依赖集中，每个FD X→Y去构成一个模式XY。
在构成的模式集中，如果每个模式都不包含R的候选键，那么把候选键作为一个模式放入模式集中。

这样得到的模式集是关系模式R的一个分解，并且这个分解既是无损分解，又能保持FD。

例4.7　设关系模式R（ABCDE）,R的最小依赖集为｛A→B，C→D｝。从依赖集可知R的候选键为ACE。
先根据最小依赖集，可知ρ ＝｛AB，CD｝。然后再加入由候选键组成的模式ACE。因此最后结果ρ ＝｛AB，CD，ACE｝是一个3NF模式集，R相对于该依赖集是无损分解且保持FD。