FD的逻辑蕴涵

定义4.2  设F是在关系模式R上成立的函数依赖的集合，X→Y是一个函数依赖。如果对于R的每个满足F的关系r也满足X→Y，那么称F逻辑蕴涵X→Y，记为F ? X→Y。

定义4.3  设F是函数依赖集，被F逻辑蕴涵的函数依赖全体构成的集合，称为函数依赖集F的闭包（closure），记为F+。即 F+=｛ X→Y |F?X→Y｝

FD的推理规则

设U是关系模式R的属性集，F是R上成立的只涉及到U中属性的函数依赖集。FD的推理规则有以下三条：
A1（自反性，reflexivity）：若Y?X?U，则X→Y在R上成立。
例：设U的属性为｛学号、姓名、家庭住址｝，其中没有两个同学的家庭住址是相同的。设X为｛学号、姓名｝，Y为{姓名}，这样满足Y?X?U。可以看出　X→Y在R上成立，但是Y→X是不成立的

A2（增广性，augmentation）：若X→Y在R上成立，且Z?U，则XZ→YZ在R上成立。
例：设U的属性为｛学号、姓名、家庭住址｝，其中没有两个同学的家庭住址是相同的。设X为｛学号、姓名｝，Y为{姓名}，Z为｛家庭住址｝。可以看出XZ为｛学号、姓名、家庭住址｝，YZ为｛姓名、家庭住址｝，那么XZ→YZ在R上成立

A3（传递性，transitivity）：若X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。
例：设U的属性为｛学号、姓名、家庭住址｝，其中没有两个同学的家庭住址是相同的。其中X为｛学号｝，Y为｛家庭住址｝，Z为｛姓名｝，可以看出X→Y和Y→Z在R上成立，且X→Z在R上成立。

FD推理规则A1、A2和A3是正确的。也就是，如果X→Y是从F用推理规则导出，那么X→Y在F+中。

FD的其他五条推理规则:
(1) A4（合并性，union）：｛ X→Y，X→Z ｝?X→YZ。
(2) A5（分解性，decomposition）：｛ X→Y，Z?Y ｝?X→Z。
(3) A6（伪传递性）：｛ X→Y，WY→Z ｝?WX→Z。
(4) A7（复合性，composition）：｛ X→Y，W→Z ｝?XW→YZ。
(5) A8 ｛ X→Y，W→Z ｝?X∪（W－Y）→YZ。

例4.5  已知关系模式R（ABC），F=｛ A→B，B→C ｝，求F+。
根据FD的推理规则，可推出F的F+有43个FD。
譬如，据规则A1可推出A→φ（φ表示空属性集），A→A，…。据已知的A→B及规则A2可推出AC→BC，AB→B，A→AB，…。据已知条件及规则A3可推出A→C等。作为习题，读者可自行推出这43个FD。

上题中43个FD分别为：
A→空 A B→空  AC→空  ABC→空  B→空  C→空
A→A  AB→A  AC→A  ABC→A  B→B  C→C
A→B  AB→B  AC→B  ABC→B  B→C  空→空
A→C  AB→C  AC→C  ABC→C  B→BC
A→AB  AB→AB  AC→AB  ABC→AB  BC→空
A→AC  AB→AC  AC→AC  ABC→AC  BC→B
A→BC  AB→BC  AC→BC  ABC→BC  BC→C
A→ABC  AB→ABC  AC→ABC  ABC→ABC  BC→BC 

定义4.4  对于FD X→Y，如果Y?X，那么称X→Y是一个“平凡的FD”(可以按照规则正常推导出来的)，否则称为“非平凡的FD”。

定理4.3  如果A1…An是关系模式R的属性集，那么X→A1…An成立的充分必要条件是X→Ai（i=1，…，n）成立。
充分用规则A4推导，必要用规则A5推导

FD和关键码的联系

定义4.5  设关系模式R的属性集是U，X是U的一个子集。如果X→U在R上成立，那么称X是R的一个超键。如果X→U在R上成立，但对于X的任一真子集X1都有X1→U不成立，那么称X是R上的一个候选键。本章的键都是指候选键。见书中P43页超键和候选键的定义。

例4.6  在学生选课、教师任课的关系模式中：
R（S#，SNAME，C#，GRADE，CNAME，TNAME，TAGE）
如果规定：每个学生每学一门课只有一个成绩；每个学生只有一个姓名；每个课程号只有一个课程名；每门课程只有一个任课教师。
根据这些规则，可以知道（S#，C#）能函数决定R的全部属性，并且是一个候选键。虽然（S#，SNAME，C#，TNAME）也能函数决定R的全部属性，但相比之下，只能说是一个超键，而不能说是候选键，因为其中含有多余属性。 

属性集的闭包

定义4.6  设F是属性集U上的FD集，X是U的子集，那么（相对于F）属性集X的闭包用X+表示，它是一个从F集使用FD推理规则推出的所有满足X→A的属性A的集合：X+=｛ 属性A | X→A在F+中 ｝
(X+里包含n个属性，那么左边为X的FD的个数为2的n次幂)

定理4.4  X→Y能用FD推理规则推出的充分必要条件是Y?X+。 
例4.7  属性集U为ABCD，FD集为｛ A→B，B→C，D→B ｝。则用上述算法，可求出A+=ABC，（AD）+=ABCD，（BD）+=BCD，等等。 
此时左边为A的函数依赖个数为2的3次幂，左边为AD的函数依赖个数为2的4次幂，左边为BD的函数依赖个数为2的3次幂

属性集的闭包

定义4.6  设F是属性集U上的FD集，X是U的子集，那么（相对于F）属性集X的闭包用X+表示，它是一个从F集使用FD推理规则推出的所有满足X→A的属性A的集合：X+=｛ 属性A | X→A在F+中 ｝
(X+里包含n个属性，那么左边为X的FD的个数为2n)
定理4.4  X→Y能用FD推理规则推出的充分必要条件是Y?X+。

例4.7  属性集U为ABCD，FD集为｛ A→B，B→C，D→B ｝。则用上述算法，可求出A+=ABC，（AD）+=ABCD，（BD）+=BCD，等等。 
此时左边为A的函数依赖个数为2的3次幂，左边为AD的函数依赖个数为2的4次幂，左边为BD的函数依赖个数为2的3次幂

(注，在属性集的闭包与FD推理规则的完备性中，部分公式使用html显示不正确，建议下载ppt查看：ppt下载地址：关系数据库的规范化设计教程下载)