把数理逻辑的谓词演算引入到关系运算中，就可得到以关系演算为基础的运算。关系演算又可分为元组关系演算和域关系演算，前者以元组为变量，后者以属性（域）为变量。

元组关系演算

在元组关系演算（Tuple Relational Calculus）中，元组关系演算表达式简称为元组表达式，其一般形式为  { t | P（t）},其中，t是元组变量，表示一个元数固定的元组；P是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机语言中的条件表达式。{ t | P（t）}表示满足公式P的所有元组t的集合。 

在元组表达式中，公式由原子公式组成。
原子公式（Atoms）有下列三种形式：
  ① R（s） 
  ② s[i]θu[j] 
  ③ s[i]θa或aθu[j]。 
在定义关系演算操作时，要用到“自由”（Free）和“约束”（Bound）变量概念。在一个公式中，如果元组变量未用存在量词?或全称量词?符号定义，那么称为自由元组变量，否则称为约束元组变量。 

公式（Formulas）的递归定义如下：
 ① 每个原子是一个公式。其中的元组变量是自由变量。
 ② 如果P1和P2是公式，那么┐P1、P1∨P2、P1∧P2和P1?P2也都是公式。 
 ③ 如果P1是公式，那么（?s）（P1）和（?s）（P1）也都是公式。 
 ④ 公式中各种运算符的优先级从高到低依次为：θ，?和?，┐，∧和∨，?。在公式外还可以加括号，以改变上述优先顺序。 
 ⑤ 公式只能由上述四种形式构成，除此之外构成的都不是公式。 

在元组关系演算的公式中，有下列三个等价的转换规则：
 ①  P1∧P2等价于┐(┐P1∨┐P2)；
  P1∨P2等价于┐（┐P1∧┐P2）。
 ②（?s）（P1（s））等价于┐(?s)（┐P1（s））；
（?s）（P1（s））等价于┐(?s）（┐P1（s））。
 ③1?P2等价于 ┐P1∨P2。

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数据库学习教程(二)-关系模型和关系运算理论

关系代数表达式到元组表达式的转换
例2.17 
 R∪S可用{ t | R（t）∨S（t）}表示；
 R-S可用{ t | R（t）∧┐S（t）} 表示； 
 R×S可用{ t |（?u）（?v）（R（u）∧S(V) ∧t[1]=u[1] ∧t[2]=u[2]∧t[3]=u[3]∧t[4]=v[1] ∧t[5]=v[2] ∧t[6]=v[3]）} 表示。
设投影操作是π2,3（R），那么元组表达式可写成：
{ t |(?u)（R（u）∧t[l]=u[2]∧t[2]=u[3]）}
   σF（R）可用{ t |R(t)∧F'}表示，F'是F的等价表示形式。譬如σ2='d'（R）可写成{ t |（R（t）∧t[2]='d'）。  

域关系演算

原子公式有两种形式：
 ⑴ R（x1…xk）；
 ⑵ xθy。                                                            
公式中也可使用∧、∨、┐和?等逻辑运算符,(?x)和（?x），但变量x是域变量，不是元组变量。
自由域变量、约束域变量等概念和元组演算中一样。
域演算表达式是形为｛t1…tk∣P（t1，…，tk）｝的表达式，其中P（t1，…，tk）是关于自由域变量t1，…，tk 的公式。

元组表达式到域表达式的转换
我们可以很容易地把元组表达式转换成域表达式，转换规则如下：
⑴ 对于k元的元组变量t，可引入k个域变量t1…tk，在公式中t用t1…tk替换，元组分量t[i]用ti替换。
⑵ 对于每个量词（?u）或（?u），若u是m元的元组变量，则引入m个新的域变量u1…um。在量词的辖域内，u用u1…um替换，u[i]用ui替换，（?u）用（?u1）…（?um）替换，（?u）用（?u1）…（?um）替换。

关系运算的安全约束和等价性

在数据库技术中，不产生无限关系和无穷验证的运算称为安全运算，相应的表达式称为安全表达式，所采取的措施称为安全约束。

并、差、笛尔卡积、投影和选择是关系代数最基本的操作，并构成了关系代数运算的最小完备集。已经证明，在这个基础上，关系代数、安全的元组关系演算、安全的域关系演算在关系的表达和操作能力上是完全等价的。 

关系代数表达式的优化
在关系代数表达式中需要指出若干关系的操作步骤。那么，系统应该以什么样的操作顺序，才能做到既省时间，又省空间，而且效率也比较高呢？这个问题称为查询优化问题。
在关系代数运算中，笛卡儿积和联接运算是最费时间的。

例2.23 设关系R和S都是二元关系，属性名分别为A，B和C，D。设有一个查询可用关系代数表达式表示：
E1=πA（σB=C∧D='99'（R×S））

也可以把选择条件D=‘99’移到笛卡儿积中的关系S前面：
E2=πA（σB=C（R×σD='99'（S））

还可以把选择条件B＝C与笛卡儿积结合成等值联接形式：
E3=πA（R ? σD=‘99’（S））
B=C

这三个关系代数表达式是等价的，但执行的效率大不一样。显然，求El，E2，E3的大部分时间是花在联接操作上的。

关系代数表达式的优化算法
在关系代数表达式中，最花费时间和空间的运算是笛卡尔积和联接操作，为此，引出三条启发式规则，用于对表达式进行转换，以减少中间关系的大小。
·尽可能早地执行选择操作；
·尽可能早地执行投影操作；
·避免直接做笛卡尔积，把笛卡尔积操作之前和之后的一连串选择和投影合并起来一起做。u覻 TNt^劅0<